Розв'яжіть 13x^2-5x-20=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1,447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1,062859144$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 13 замість a, -5 замість b і -20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -4 на 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -52 на -20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

Додайте 25 до 1040.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Помножте 2 на 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{1065}.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{1065} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Додайте 20 до обох сторін цього рівняння.

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Якщо відняти -20 від самого себе, залишиться 0.

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

Відніміть -20 від 0.

$$13x^{2}-5x=20$$

Розділіть обидві сторони на 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

Ділення на 13 скасовує множення на 13.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

Поділіть -\frac{5}{13} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{26}. Потім додайте -\frac{5}{26} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{26} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

Щоб додати \frac{20}{13} до \frac{25}{676}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

Додайте \frac{5}{26} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$