Розв'яжіть 13p^2-11p-2=0

$$13 p ^ { 2 } - 11 p - 2 = 0$$

Знайдіть p

$$p=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$p=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 13p^{2}+ap+bp-2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-11 ab=13\left(-2\right)=-26$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -26.

$$1,-26 2,-13$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-26=-25 2-13=-11$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-13 b=2$$

Перепишіть 13p^{2}-11p-2 як \left(13p^{2}-13p\right)+\left(2p-2\right).

$$\left(13p^{2}-13p\right)+\left(2p-2\right)$$

13p на першій та 2 в друге групу.

$$13p\left(p-1\right)+2\left(p-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член p-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(p-1\right)\left(13p+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть p-1=0 та 13p+2=0.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$13p^{2}-11p-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 13 замість a, -11 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 13\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 13\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -4 на 13.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-52\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -52 на -2.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+104}}{2\times 13}$$

Додайте 121 до 104.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{225}}{2\times 13}$$

Видобудьте квадратний корінь із 225.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±15}{2\times 13}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$p=\frac{11±15}{2\times 13}$$

Помножте 2 на 13.

$$p=\frac{11±15}{26}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{11±15}{26} за додатного значення ±. Додайте 11 до 15.

$$p=\frac{26}{26}$$

Розділіть 26 на 26.

$$p=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{11±15}{26} за від’ємного значення ±. Відніміть 15 від 11.

$$p=-\frac{4}{26}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{26} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{2}{13}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$13p^{2}-11p-2=0$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$13p^{2}-11p-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Якщо відняти -2 від самого себе, залишиться 0.

$$13p^{2}-11p=-\left(-2\right)$$

Відніміть -2 від 0.

$$13p^{2}-11p=2$$

Розділіть обидві сторони на 13.

$$\frac{13p^{2}-11p}{13}=\frac{2}{13}$$

Ділення на 13 скасовує множення на 13.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p=\frac{2}{13}$$

Поділіть -\frac{11}{13} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{26}. Потім додайте -\frac{11}{26} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\left(-\frac{11}{26}\right)^{2}=\frac{2}{13}+\left(-\frac{11}{26}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{26} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}=\frac{2}{13}+\frac{121}{676}$$

Щоб додати \frac{2}{13} до \frac{121}{676}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}=\frac{225}{676}$$

Розкладіть p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{11}{26}\right)^{2}=\frac{225}{676}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{676}}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{11}{26}=\frac{15}{26} p-\frac{11}{26}=-\frac{15}{26}$$

Додайте \frac{11}{26} до обох сторін цього рівняння.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$