Розв'яжіть 13x^2-60x-45=0

$$13 { x }^{ 2 } -60x-45=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{165} + 30}{13} \approx 5,271976749$$

$$x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}\approx -0,656592134$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$13x^{2}-60x-45=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 13 замість a, -60 замість b і -45 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 13\left(-45\right)}}{2\times 13}$$

Піднесіть -60 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 13\left(-45\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -4 на 13.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-52\left(-45\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -52 на -45.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600+2340}}{2\times 13}$$

Додайте 3600 до 2340.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{5940}}{2\times 13}$$

Видобудьте квадратний корінь із 5940.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±6\sqrt{165}}{2\times 13}$$

Число, протилежне до -60, дорівнює 60.

$$x=\frac{60±6\sqrt{165}}{2\times 13}$$

Помножте 2 на 13.

$$x=\frac{60±6\sqrt{165}}{26}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{60±6\sqrt{165}}{26} за додатного значення ±. Додайте 60 до 6\sqrt{165}.

$$x=\frac{6\sqrt{165}+60}{26}$$

Розділіть 60+6\sqrt{165} на 26.

$$x=\frac{3\sqrt{165}+30}{13}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{60±6\sqrt{165}}{26} за від’ємного значення ±. Відніміть 6\sqrt{165} від 60.

$$x=\frac{60-6\sqrt{165}}{26}$$

Розділіть 60-6\sqrt{165} на 26.

$$x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{165}+30}{13} x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-60x-45=0$$

Додайте 45 до обох сторін цього рівняння.

$$13x^{2}-60x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Якщо відняти -45 від самого себе, залишиться 0.

$$13x^{2}-60x=-\left(-45\right)$$

Відніміть -45 від 0.

$$13x^{2}-60x=45$$

Розділіть обидві сторони на 13.

$$\frac{13x^{2}-60x}{13}=\frac{45}{13}$$

Ділення на 13 скасовує множення на 13.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x=\frac{45}{13}$$

Поділіть -\frac{60}{13} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{30}{13}. Потім додайте -\frac{30}{13} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x+\left(-\frac{30}{13}\right)^{2}=\frac{45}{13}+\left(-\frac{30}{13}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{30}{13} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x+\frac{900}{169}=\frac{45}{13}+\frac{900}{169}$$

Щоб додати \frac{45}{13} до \frac{900}{169}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x+\frac{900}{169}=\frac{1485}{169}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{60}{13}x+\frac{900}{169} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{30}{13}\right)^{2}=\frac{1485}{169}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{30}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1485}{169}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{30}{13}=\frac{3\sqrt{165}}{13} x-\frac{30}{13}=-\frac{3\sqrt{165}}{13}$$

Додайте \frac{30}{13} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{165}+30}{13} x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}$$