Розв'яжіть 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1,397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5,797467635$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12345 замість a, 54321 замість b і -99999 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Піднесіть 54321 до квадрата.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Помножте -4 на 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Помножте -49380 на -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Додайте 2950771041 до 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Помножте 2 на 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} за додатного значення ±. Додайте -54321 до 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Розділіть -54321+3\sqrt{876524629} на 24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{876524629} від -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Розділіть -54321-3\sqrt{876524629} на 24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Додайте 99999 до обох сторін цього рівняння.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Якщо відняти -99999 від самого себе, залишиться 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Відніміть -99999 від 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Розділіть обидві сторони на 12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Ділення на 12345 скасовує множення на 12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{54321}{12345} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{99999}{12345} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Поділіть \frac{18107}{4115} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{18107}{8230}. Потім додайте \frac{18107}{8230} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{18107}{8230} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Щоб додати \frac{33333}{4115} до \frac{327863449}{67732900}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Відніміть \frac{18107}{8230} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$