Розв'яжіть 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-2300. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 200.

$$a=-30 b=230$$

Перепишіть 3x^{2}+200x-2300 як \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

3x на першій та 230 в друге групу.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-10=0 та 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 120 замість a, 8000 замість b і -92000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Піднесіть 8000 до квадрата.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Помножте -4 на 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Помножте -480 на -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Додайте 64000000 до 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Видобудьте квадратний корінь із 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Помножте 2 на 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8000±10400}{240} за додатного значення ±. Додайте -8000 до 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Розділіть 2400 на 240.

$$x=10$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8000±10400}{240} за від’ємного значення ±. Відніміть 10400 від -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 80, щоб звести дріб \frac{-18400}{240} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Додайте 92000 до обох сторін цього рівняння.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Якщо відняти -92000 від самого себе, залишиться 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Відніміть -92000 від 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Розділіть обидві сторони на 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Ділення на 120 скасовує множення на 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 40, щоб звести дріб \frac{8000}{120} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 40, щоб звести дріб \frac{92000}{120} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Поділіть \frac{200}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{100}{3}. Потім додайте \frac{100}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{100}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Щоб додати \frac{2300}{3} до \frac{10000}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Відніміть \frac{100}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$