Розв'яжіть 12x^2-30x-108rightarrow

$$12 x ^ { 2 } - 30 x - 108 \rightarrow$$

Розкласти на множники

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 6 за дужки.

$$6\left(2x^{2}-5x-18\right)$$

Розглянемо 2x^{2}-5x-18. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 2x^{2}+ax+bx-18. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-9 b=4$$

Перепишіть 2x^{2}-5x-18 як \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

x на першій та 2 в друге групу.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-9, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-30x-108=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 12\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -30 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 12\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-48\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+5184}}{2\times 12}$$

Додайте 900 до 5184.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{6084}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 6084.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±78}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -30, дорівнює 30.

$$x=\frac{30±78}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{30±78}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{30±78}{24} за додатного значення ±. Додайте 30 до 78.

$$x=\frac{108}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{108}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{9}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{30±78}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 78 від 30.

$$x=-\frac{48}{24}$$

Розділіть -48 на 24.

$$x=-2$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{9}{2} на x_{1} та -2 на x_{2}.

$$12x^{2}-30x-108=12\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12x^{2}-30x-108=12\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+2\right)$$

Щоб відняти x від \frac{9}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}-30x-108=12\times \frac{2x-9}{2}\left(x+2\right)$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 2.

$$12x^{2}-30x-108=6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Обчислити

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$