Розв'яжіть 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, -2 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Додайте 4 до -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{59} на 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{59} від 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{59} на 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Поділіть -\frac{1}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{12}. Потім додайте -\frac{1}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Щоб додати -\frac{5}{12} до \frac{1}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Додайте \frac{1}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$