Розв'яжіть 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, -12 замість b і -6 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Додайте 144 до 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} за додатного значення ±. Додайте 12 до 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Розділіть 12+12\sqrt{3} на 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 12\sqrt{3} від 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Розділіть 12-12\sqrt{3} на 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Якщо відняти -6 від самого себе, залишиться 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Відніміть -6 від 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Розділіть -12 на 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{6}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$