Розв'яжіть 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

Розкласти на множники

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12x^{2}+ax+bx-24. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 23.

$$a=-9 b=32$$

Перепишіть 12x^{2}+23x-24 як \left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

3x на першій та 8 в друге групу.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 23 до квадрата.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

Додайте 529 до 1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-23±41}{24} за додатного значення ±. Додайте -23 до 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-23±41}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 41 від -23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-64}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та -\frac{8}{3} на x_{2}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{8}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

Щоб помножити \frac{4x-3}{4} на \frac{3x+8}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

Помножте 4 на 3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Обчислити

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$