Розв'яжіть 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Розкласти на множники

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12t^{2}+at+bt-10. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-15 b=8$$

Перепишіть 12t^{2}-7t-10 як \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Винесіть за дужки 3t в першій і 2 у другій групі.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4t-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Додайте 49 до 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{7±23}{24} за додатного значення ±. Додайте 7 до 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{24} до нескоротного вигляду.

$$t=\frac{5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{7±23}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 23 від 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-16}{24} до нескоротного вигляду.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{4} на x_{1} та -\frac{2}{3} на x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб відняти t від \frac{5}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{3} до t, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Щоб помножити \frac{4t-5}{4} на \frac{3t+2}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Помножте 4 на 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Обчислити

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$