Розв'яжіть 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Знайдіть r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 12r^{2}+ar+br-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-20 b=9$$

Перепишіть 12r^{2}-11r-15 як \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

4r на першій та 3 в друге групу.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3r-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3r-5=0 та 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, -11 замість b і -15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Додайте 121 до 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{11±29}{24} за додатного значення ±. Додайте 11 до 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{40}{24} до нескоротного вигляду.

$$r=\frac{5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{11±29}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 29 від 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-18}{24} до нескоротного вигляду.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Додайте 15 до обох сторін цього рівняння.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Якщо відняти -15 від самого себе, залишиться 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Відніміть -15 від 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{15}{12} до нескоротного вигляду.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Поділіть -\frac{11}{12} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{24}. Потім додайте -\frac{11}{24} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{24} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Щоб додати \frac{5}{4} до \frac{121}{576}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Розкладіть r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Виконайте спрощення.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Додайте \frac{11}{24} до обох сторін цього рівняння.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$