Розв'яжіть 12q^2+23q+10

$$12 q ^ { 2 } + 23 q + 10$$

Розкласти на множники

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12q^{2}+aq+bq+10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 23.

$$a=8 b=15$$

Перепишіть 12q^{2}+23q+10 як \left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right).

$$\left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right)$$

4q на першій та 5 в друге групу.

$$4q\left(3q+2\right)+5\left(3q+2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3q+2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12q^{2}+23q+10=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$q=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Піднесіть 23 до квадрата.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на 10.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

Додайте 529 до -480.

$$q=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$q=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$q=\frac{-23±7}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{-23±7}{24} за додатного значення ±. Додайте -23 до 7.

$$q=-\frac{16}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-16}{24} до нескоротного вигляду.

$$q=-\frac{2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{-23±7}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від -23.

$$q=-\frac{30}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-30}{24} до нескоротного вигляду.

$$q=-\frac{5}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{2}{3} на x_{1} та -\frac{5}{4} на x_{2}.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(q-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q+\frac{2}{3}\right)\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{3} до q, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{4} до q, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\times \frac{4q+5}{4}$$

Щоб помножити \frac{3q+2}{3} на \frac{4q+5}{4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{3\times 4}$$

Помножте 3 на 4.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12q^{2}+23q+10=\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Обчислити

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$