Розв'яжіть 12k^2+16k-3

$$12 k ^ { 2 } + 16 k - 3$$

Розкласти на множники

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12k^{2}+ak+bk-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 16.

$$a=-2 b=18$$

Перепишіть 12k^{2}+16k-3 як \left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right).

$$\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right)$$

Винесіть за дужки 2k в першій і 3 у другій групі.

$$2k\left(6k-1\right)+3\left(6k-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 6k-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+16k-3=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 16 до квадрата.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -3.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Додайте 256 до 144.

$$k=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 400.

$$k=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$k=\frac{-16±20}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-16±20}{24} за додатного значення ±. Додайте -16 до 20.

$$k=\frac{4}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{24} до нескоротного вигляду.

$$k=\frac{1}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-16±20}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 20 від -16.

$$k=-\frac{36}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-36}{24} до нескоротного вигляду.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{6} на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти k від \frac{1}{6}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до k, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\times \frac{2k+3}{2}$$

Щоб помножити \frac{6k-1}{6} на \frac{2k+3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{6\times 2}$$

Помножте 6 на 2.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12k^{2}+16k-3=\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Обчислити

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$