Розв'яжіть 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Розкласти на множники

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 3 за дужки.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

Розглянемо 4k^{2}+5k-9. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4k^{2}+ak+bk-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 5.

$$a=-4 b=9$$

Перепишіть 4k^{2}+5k-9 як \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right).

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

4k на першій та 9 в друге групу.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член k-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 15 до квадрата.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

Додайте 225 до 1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-15±39}{24} за додатного значення ±. Додайте -15 до 39.

$$k=\frac{24}{24}$$

Розділіть 24 на 24.

$$k=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-15±39}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 39 від -15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-54}{24} до нескоротного вигляду.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 1 на x_{1} та -\frac{9}{4} на x_{2}.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{9}{4} до k, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 4.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Обчислити

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$