Розв'яжіть 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Розкласти на множники

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12c^{2}+ac+bc-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=-9 b=20$$

Перепишіть 12c^{2}+11c-15 як \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

3c на першій та 5 в друге групу.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4c-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Додайте 121 до 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння c=\frac{-11±29}{24} за додатного значення ±. Додайте -11 до 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{24} до нескоротного вигляду.

$$c=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння c=\frac{-11±29}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 29 від -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-40}{24} до нескоротного вигляду.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та -\frac{5}{3} на x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Щоб відняти c від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{3} до c, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Щоб помножити \frac{4c-3}{4} на \frac{3c+5}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Помножте 4 на 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Обчислити

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$