Розв'яжіть 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Знайдіть n

$$n=6$$

$$n=15$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 12 на n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Відніміть 30 від -48, щоб отримати -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Відніміть n^{2} з обох сторін.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Додайте 9n до обох сторін.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Додайте 12n до 9n, щоб отримати 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Відніміть 12 з обох сторін.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Відніміть 12 від -78, щоб отримати -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -n^{2}+an+bn-90. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 21.

$$a=15 b=6$$

Перепишіть -n^{2}+21n-90 як \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

-n на першій та 6 в друге групу.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-15, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-15=0 та -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 12 на n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Відніміть 30 від -48, щоб отримати -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Відніміть n^{2} з обох сторін.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Додайте 9n до обох сторін.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Додайте 12n до 9n, щоб отримати 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Відніміть 12 з обох сторін.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Відніміть 12 від -78, щоб отримати -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 21 замість b і -90 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 21 до квадрата.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 441 до -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-21±9}{-2} за додатного значення ±. Додайте -21 до 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Розділіть -12 на -2.

$$n=6$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-21±9}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Розділіть -30 на -2.

$$n=15$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=6 n=15$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 12 на n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Відніміть 30 від -48, щоб отримати -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Відніміть n^{2} з обох сторін.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Додайте 9n до обох сторін.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Додайте 12n до 9n, щоб отримати 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Додайте 78 до обох сторін.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Додайте 12 до 78, щоб обчислити 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Розділіть 21 на -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Розділіть 90 на -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Поділіть -21 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{21}{2}. Потім додайте -\frac{21}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{21}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Додайте -90 до \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Розкладіть n^{2}-21n+\frac{441}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Додайте \frac{21}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$n=15 n=6$$