Розв'яжіть 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Розкласти на множники

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12z^{2}+az+bz-12. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-16 b=9$$

Перепишіть 12z^{2}-7z-12 як \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Винесіть за дужки 4z в першій і 3 у другій групі.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3z-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Додайте 49 до 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{7±25}{24} за додатного значення ±. Додайте 7 до 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{32}{24} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{7±25}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 25 від 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-18}{24} до нескоротного вигляду.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{4}{3} на x_{1} та -\frac{3}{4} на x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Щоб відняти z від \frac{4}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{4} до z, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Щоб помножити \frac{3z-4}{3} на \frac{4z+3}{4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Помножте 3 на 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Обчислити

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$