Розв'яжіть 12x^2-5x-3

$$12 { x }^{ 2 } -5x-3$$

Розкласти на множники

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-9 b=4$$

Перепишіть 12x^{2}-5x-3 як \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Винесіть за дужки 3x в 12x^{2}-9x.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Додайте 25 до 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±13}{24} за додатного значення ±. Додайте 5 до 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±13}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-8}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та -\frac{1}{3} на x_{2}.

$$12x^{2}-5x-3=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12x^{2}-5x-3=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+1}{3}$$

Щоб помножити \frac{4x-3}{4} на \frac{3x+1}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)}{4\times 3}$$

Помножте 4 на 3.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12x^{2}-5x-3=\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Обчислити

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$