Розв'яжіть 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, -102 замість b і 160 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Піднесіть -102 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Додайте 10404 до -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -102, дорівнює 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} за додатного значення ±. Додайте 102 до 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Розділіть 102+2\sqrt{681} на 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{681} від 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Розділіть 102-2\sqrt{681} на 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Відніміть 160 від обох сторін цього рівняння.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Якщо відняти 160 від самого себе, залишиться 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-102}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-160}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Поділіть -\frac{17}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{17}{4}. Потім додайте -\frac{17}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{17}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Щоб додати -\frac{40}{3} до \frac{289}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Додайте \frac{17}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$