Розв'яжіть 12x^2-12^2x+9>0

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Обчисліть 12 у степені 2 і отримайте 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 12 на a, -144 – на b, а 9 – на c.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) і x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) і x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) від’ємні.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) і x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) додатні.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$