Розв'яжіть 12x^2+80x+100

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Розкласти на множники

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 4 за дужки.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

Розглянемо 3x^{2}+20x+25. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 3x^{2}+ax+bx+25. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 20.

$$a=5 b=15$$

Перепишіть 3x^{2}+20x+25 як \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

x на першій та 5 в друге групу.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x+5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Піднесіть 80 до квадрата.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на 100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

Додайте 6400 до -4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-80±40}{24} за додатного значення ±. Додайте -80 до 40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-40}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-80±40}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 40 від -80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

Розділіть -120 на 24.

$$x=-5$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{5}{3} на x_{1} та -5 на x_{2}.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Щоб додати \frac{5}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

Відкиньте 3, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 3.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Обчислити

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$