Розв'яжіть 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1,157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3,2405458$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, 25 замість b і -45 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 25 до квадрата.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Додайте 625 до 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} за додатного значення ±. Додайте -25 до \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{2785} від -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Додайте 45 до обох сторін цього рівняння.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Якщо відняти -45 від самого себе, залишиться 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Відніміть -45 від 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{45}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Поділіть \frac{25}{12} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{25}{24}. Потім додайте \frac{25}{24} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{25}{24} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Щоб додати \frac{15}{4} до \frac{625}{576}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Відніміть \frac{25}{24} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$