Розв'яжіть 110x-10x^2=2800

$$110x-10 { x }^{ 2 } =2800$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}\approx 5,5+15,803480629i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}\approx 5,5-15,803480629i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Відніміть 2800 від обох сторін цього рівняння.

$$-10x^{2}+110x-2800=2800-2800$$

Якщо відняти 2800 від самого себе, залишиться 0.

$$-10x^{2}+110x-2800=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -10 замість a, 110 замість b і -2800 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Піднесіть 110 до квадрата.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Помножте -4 на -10.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100+40\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Помножте 40 на -2800.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-112000}}{2\left(-10\right)}$$

Додайте 12100 до -112000.

$$x=\frac{-110±\sqrt{-99900}}{2\left(-10\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -99900.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{2\left(-10\right)}$$

Помножте 2 на -10.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20} за додатного значення ±. Додайте -110 до 30i\sqrt{111}.

$$x=\frac{-110+30\sqrt{111}i}{-20}$$

Розділіть -110+30i\sqrt{111} на -20.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20} за від’ємного значення ±. Відніміть 30i\sqrt{111} від -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{111}i-110}{-20}$$

Розділіть -110-30i\sqrt{111} на -20.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2} x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Розділіть обидві сторони на -10.

$$\frac{-10x^{2}+110x}{-10}=\frac{2800}{-10}$$

Ділення на -10 скасовує множення на -10.

$$x^{2}+\frac{110}{-10}x=\frac{2800}{-10}$$

Розділіть 110 на -10.

$$x^{2}-11x=\frac{2800}{-10}$$

Розділіть 2800 на -10.

$$x^{2}-11x=-280$$

Поділіть -11 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{2}. Потім додайте -\frac{11}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-280+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-280+\frac{121}{4}$$

Додайте -280 до \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-\frac{999}{4}$$

Розкладіть x^{2}-11x+\frac{121}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=-\frac{999}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{999}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3\sqrt{111}i}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3\sqrt{111}i}{2}$$

Додайте \frac{11}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$