Розв'яжіть 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Відніміть 11 з обох сторін.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Відніміть 11 від 1, щоб отримати -10.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -49 замість a, 20 замість b і -10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Піднесіть 20 до квадрата.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Помножте -4 на -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Помножте 196 на -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Додайте 400 до -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Помножте 2 на -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} за додатного значення ±. Додайте -20 до 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

Розділіть -20+2i\sqrt{390} на -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{390} від -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

Розділіть -20-2i\sqrt{390} на -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Відніміть 1 від 11, щоб отримати 10.

$$20x-49x^{2}=10$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Розділіть обидві сторони на -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Ділення на -49 скасовує множення на -49.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

Розділіть 20 на -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

Розділіть 10 на -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Поділіть -\frac{20}{49} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{10}{49}. Потім додайте -\frac{10}{49} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{10}{49} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Щоб додати -\frac{10}{49} до \frac{100}{2401}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Додайте \frac{10}{49} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$