Розв'яжіть 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Знайдіть y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 3y^{2} з обох сторін.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Додайте 4 до обох сторін.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -3y^{2}+ay+by+4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=12 b=-1$$

Перепишіть -3y^{2}+11y+4 як \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Винесіть за дужки 3y в -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Винесіть за дужки спільний член -y+4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть -y+4=0 та 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 3y^{2} з обох сторін.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Додайте 4 до обох сторін.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 11 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 121 до 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-11±13}{-6} за додатного значення ±. Додайте -11 до 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{-6} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-11±13}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Розділіть -24 на -6.

$$y=4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть 3y^{2} з обох сторін.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Розділіть 11 на -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Розділіть -4 на -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Поділіть -\frac{11}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{6}. Потім додайте -\frac{11}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Щоб додати \frac{4}{3} до \frac{121}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Додайте \frac{11}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$