Розв'яжіть 11x^2-31x-6=0

$$11 x ^ { 2 } - 31 x - 6 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0,181818182$$

$$x=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 11x^{2}+ax+bx-6. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-31 ab=11\left(-6\right)=-66$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -66.

$$1,-66 2,-33 3,-22 6,-11$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-66=-65 2-33=-31 3-22=-19 6-11=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -31.

$$a=-33 b=2$$

Перепишіть 11x^{2}-31x-6 як \left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right)$$

11x на першій та 2 в друге групу.

$$11x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(11x+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-3=0 та 11x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 11 замість a, -31 замість b і -6 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Піднесіть -31 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Помножте -4 на 11.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-44\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Помножте -44 на -6.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+264}}{2\times 11}$$

Додайте 961 до 264.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1225}}{2\times 11}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1225.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±35}{2\times 11}$$

Число, протилежне до -31, дорівнює 31.

$$x=\frac{31±35}{2\times 11}$$

Помножте 2 на 11.

$$x=\frac{31±35}{22}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{31±35}{22} за додатного значення ±. Додайте 31 до 35.

$$x=\frac{66}{22}$$

Розділіть 66 на 22.

$$x=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{31±35}{22} за від’ємного значення ±. Відніміть 35 від 31.

$$x=-\frac{4}{22}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{22} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{11}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$11x^{2}-31x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Якщо відняти -6 від самого себе, залишиться 0.

$$11x^{2}-31x=-\left(-6\right)$$

Відніміть -6 від 0.

$$11x^{2}-31x=6$$

Розділіть обидві сторони на 11.

$$\frac{11x^{2}-31x}{11}=\frac{6}{11}$$

Ділення на 11 скасовує множення на 11.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x=\frac{6}{11}$$

Поділіть -\frac{31}{11} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{31}{22}. Потім додайте -\frac{31}{22} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{6}{11}+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{31}{22} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{6}{11}+\frac{961}{484}$$

Щоб додати \frac{6}{11} до \frac{961}{484}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{1225}{484}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{1225}{484}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{484}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{31}{22}=\frac{35}{22} x-\frac{31}{22}=-\frac{35}{22}$$

Додайте \frac{31}{22} до обох сторін цього рівняння.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$