Розв'яжіть 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 11 замість a, -10 замість b і 13 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Помножте -4 на 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Помножте -44 на 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Додайте 100 до -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Видобудьте квадратний корінь із -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Помножте 2 на 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} за додатного значення ±. Додайте 10 до 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Розділіть 10+2i\sqrt{118} на 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{118} від 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Розділіть 10-2i\sqrt{118} на 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Відніміть 13 від обох сторін цього рівняння.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Якщо відняти 13 від самого себе, залишиться 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Розділіть обидві сторони на 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Ділення на 11 скасовує множення на 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Поділіть -\frac{10}{11} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{11}. Потім додайте -\frac{5}{11} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{11} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Щоб додати -\frac{13}{11} до \frac{25}{121}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Додайте \frac{5}{11} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$