Розв'яжіть 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 11 на a, -9 – на b, а 1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} і x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} і x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} від’ємні.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} і x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} додатні.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$