Розв'яжіть 11x^2+9x+4=0

$$11 { x }^{ 2 } +9x+4=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}\approx -0,409090909+0,443036107i$$

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}\approx -0,409090909-0,443036107i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 11 замість a, 9 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Помножте -4 на 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-44\times 4}}{2\times 11}$$

Помножте -44 на 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-176}}{2\times 11}$$

Додайте 81 до -176.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-95}}{2\times 11}$$

Видобудьте квадратний корінь із -95.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{2\times 11}$$

Помножте 2 на 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} за додатного значення ±. Додайте -9 до i\sqrt{95}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{95} від -9.

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$11x^{2}+9x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$11x^{2}+9x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 11.

$$\frac{11x^{2}+9x}{11}=-\frac{4}{11}$$

Ділення на 11 скасовує множення на 11.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x=-\frac{4}{11}$$

Поділіть \frac{9}{11} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{9}{22}. Потім додайте \frac{9}{22} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{4}{11}+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{9}{22} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{4}{11}+\frac{81}{484}$$

Щоб додати -\frac{4}{11} до \frac{81}{484}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{95}{484}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{95}{484}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{484}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{9}{22}=\frac{\sqrt{95}i}{22} x+\frac{9}{22}=-\frac{\sqrt{95}i}{22}$$

Відніміть \frac{9}{22} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$