Розв'яжіть 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0,05+0,545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0,05-0,545435606i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 10 замість a, -1 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

Помножте -4 на 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

Помножте -40 на 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

Додайте 1 до -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

Видобудьте квадратний корінь із -119.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Помножте 2 на 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} за додатного значення ±. Додайте 1 до i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{119} від 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$10x^{2}-x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 10.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

Ділення на 10 скасовує множення на 10.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

Поділіть -\frac{1}{10} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{20}. Потім додайте -\frac{1}{20} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{20} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Щоб додати -\frac{3}{10} до \frac{1}{400}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

Додайте \frac{1}{20} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$