Розв'яжіть 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Розкласти на множники

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 10p^{2}+ap+bp+2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 9.

$$a=4 b=5$$

Перепишіть 10p^{2}+9p+2 як \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Винесіть за дужки 2p в 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Винесіть за дужки спільний член 5p+2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Помножте -4 на 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Помножте -40 на 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Додайте 81 до -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Помножте 2 на 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-9±1}{20} за додатного значення ±. Додайте -9 до 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-8}{20} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-9±1}{20} за від’ємного значення ±. Відніміть 1 від -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-10}{20} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{2}{5} на x_{1} та -\frac{1}{2} на x_{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{5} до p, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{2} до p, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Щоб помножити \frac{5p+2}{5} на \frac{2p+1}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Помножте 5 на 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Відкиньте 10, тобто найбільший спільний дільник для 10 й 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Обчислити

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$