Розв'яжіть 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Знайдіть k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 10k^{2}+ak+bk-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -10.

$$-1,10 -2,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 9.

$$a=-1 b=10$$

Перепишіть 10k^{2}+9k-1 як \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Винесіть за дужки k в 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Винесіть за дужки спільний член 10k-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 10k-1=0 та k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 10 замість a, 9 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Помножте -4 на 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Помножте -40 на -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Додайте 81 до 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Видобудьте квадратний корінь із 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Помножте 2 на 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-9±11}{20} за додатного значення ±. Додайте -9 до 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{20} до нескоротного вигляду.

$$k=\frac{1}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-9±11}{20} за від’ємного значення ±. Відніміть 11 від -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Розділіть -20 на 20.

$$k=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Розділіть обидві сторони на 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Ділення на 10 скасовує множення на 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Поділіть \frac{9}{10} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{9}{20}. Потім додайте \frac{9}{20} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{9}{20} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Щоб додати \frac{1}{10} до \frac{81}{400}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Розкладіть k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Виконайте спрощення.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Відніміть \frac{9}{20} від обох сторін цього рівняння.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$