Розв'яжіть 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Знайдіть x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Додайте 10x^{2} до -3x^{2}, щоб отримати 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Додайте 10x до обох сторін.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Додайте 10x до 10x, щоб отримати 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Відніміть 11 з обох сторін.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Відніміть 11 від 8, щоб отримати -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 7x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -21.

$$-1,21 -3,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 20.

$$a=-1 b=21$$

Перепишіть 7x^{2}+20x-3 як \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 3 у другій групі.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 7x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 7x-1=0 і x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Додайте 10x^{2} до -3x^{2}, щоб отримати 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Додайте 10x до обох сторін.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Додайте 10x до 10x, щоб отримати 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Відніміть 11 з обох сторін.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Відніміть 11 від 8, щоб отримати -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, 20 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Піднесіть 20 до квадрата.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Додайте 400 до 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±22}{14} за додатного значення ±. Додайте -20 до 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{14} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±22}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 22 від -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Розділіть -42 на 14.

$$x=-3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Додайте 10x^{2} до -3x^{2}, щоб отримати 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Додайте 10x до обох сторін.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Додайте 10x до 10x, щоб отримати 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Відніміть 8 з обох сторін.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Відніміть 8 від 11, щоб отримати 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Поділіть \frac{20}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{10}{7}. Потім додайте \frac{10}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{10}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Щоб додати \frac{3}{7} до \frac{100}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Відніміть \frac{10}{7} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$