Розв'яжіть 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Обчисліть 10 у степені 2 і отримайте 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Обчисліть 8 у степені 2 і отримайте 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 144-24x+x^{2}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Відніміть 144 від 64, щоб отримати -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Відніміть -80 з обох сторін.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Число, протилежне до -80, дорівнює 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Відніміть 24x з обох сторін.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Додайте 100 до 80, щоб обчислити 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Додайте x^{2} до x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -24 замість b і 180 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Додайте 576 до -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} за додатного значення ±. Додайте 24 до 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Розділіть 24+12i\sqrt{6} на 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 12i\sqrt{6} від 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Розділіть 24-12i\sqrt{6} на 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Обчисліть 10 у степені 2 і отримайте 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Обчисліть 8 у степені 2 і отримайте 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 144-24x+x^{2}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Відніміть 144 від 64, щоб отримати -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Відніміть 24x з обох сторін.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Додайте x^{2} до x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Відніміть 100 з обох сторін.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Відніміть 100 від -80, щоб отримати -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Розділіть -24 на 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Розділіть -180 на 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Поділіть -12 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -6. Потім додайте -6 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Піднесіть -6 до квадрата.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Додайте -90 до 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Розкладіть x^{2}-12x+36 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Виконайте спрощення.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$