Розв'яжіть 125x^2-11x+10=0

$$125 x ^ { 2 } - 11 x + 10 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250}\approx 0,044+0,279399356i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}\approx 0,044-0,279399356i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$125x^{2}-11x+10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 125 замість a, -11 замість b і 10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 125\times 10}}{2\times 125}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 125\times 10}}{2\times 125}$$

Помножте -4 на 125.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-500\times 10}}{2\times 125}$$

Помножте -500 на 10.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-5000}}{2\times 125}$$

Додайте 121 до -5000.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-4879}}{2\times 125}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4879.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{4879}i}{2\times 125}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{2\times 125}$$

Помножте 2 на 125.

$$x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250} за додатного значення ±. Додайте 11 до i\sqrt{4879}.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{4879} від 11.

$$x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250} x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$125x^{2}-11x+10=0$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$125x^{2}-11x+10-10=-10$$

Якщо відняти 10 від самого себе, залишиться 0.

$$125x^{2}-11x=-10$$

Розділіть обидві сторони на 125.

$$\frac{125x^{2}-11x}{125}=-\frac{10}{125}$$

Ділення на 125 скасовує множення на 125.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x=-\frac{10}{125}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{-10}{125} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x=-\frac{2}{25}$$

Поділіть -\frac{11}{125} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{250}. Потім додайте -\frac{11}{250} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\left(-\frac{11}{250}\right)^{2}=-\frac{2}{25}+\left(-\frac{11}{250}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{250} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}=-\frac{2}{25}+\frac{121}{62500}$$

Щоб додати -\frac{2}{25} до \frac{121}{62500}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}=-\frac{4879}{62500}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{250}\right)^{2}=-\frac{4879}{62500}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{250}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4879}{62500}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{250}=\frac{\sqrt{4879}i}{250} x-\frac{11}{250}=-\frac{\sqrt{4879}i}{250}$$

Додайте \frac{11}{250} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250} x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$