Розв'яжіть 1^3-29lambda^2+47lambda-60=0

$$1 ^ { 3 } - 29 \lambda ^ { 2 } + 47 \lambda - 60 = 0$$

Знайдіть λ

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58}\approx 0,810344828-1,173807488i$$

$$\lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58}\approx 0,810344828+1,173807488i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda -59=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -29 замість a, 47 замість b і -59 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-29\right)\left(-59\right)}}{2\left(-29\right)}$$

Піднесіть 47 до квадрата.

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-29\right)\left(-59\right)}}{2\left(-29\right)}$$

Помножте -4 на -29.

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{2209+116\left(-59\right)}}{2\left(-29\right)}$$

Помножте 116 на -59.

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{2209-6844}}{2\left(-29\right)}$$

Додайте 2209 до -6844.

$$\lambda =\frac{-47±\sqrt{-4635}}{2\left(-29\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4635.

$$\lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{2\left(-29\right)}$$

Помножте 2 на -29.

$$\lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{-58}$$

Тепер розв’яжіть рівняння \lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{-58} за додатного значення ±. Додайте -47 до 3i\sqrt{515}.

$$\lambda =\frac{-47+3\sqrt{515}i}{-58}$$

Розділіть -47+3i\sqrt{515} на -58.

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58}$$

Тепер розв’яжіть рівняння \lambda =\frac{-47±3\sqrt{515}i}{-58} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{515} від -47.

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i-47}{-58}$$

Розділіть -47-3i\sqrt{515} на -58.

$$\lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$\lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58} \lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda -59=0$$

Додайте 59 до обох сторін цього рівняння.

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda -59-\left(-59\right)=-\left(-59\right)$$

Якщо відняти -59 від самого себе, залишиться 0.

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda =-\left(-59\right)$$

Відніміть -59 від 0.

$$-29\lambda ^{2}+47\lambda =59$$

Розділіть обидві сторони на -29.

$$\frac{-29\lambda ^{2}+47\lambda }{-29}=\frac{59}{-29}$$

Ділення на -29 скасовує множення на -29.

$$\lambda ^{2}+\frac{47}{-29}\lambda =\frac{59}{-29}$$

Розділіть 47 на -29.

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda =\frac{59}{-29}$$

Розділіть 59 на -29.

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda =-\frac{59}{29}$$

Поділіть -\frac{47}{29} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{47}{58}. Потім додайте -\frac{47}{58} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\left(-\frac{47}{58}\right)^{2}=-\frac{59}{29}+\left(-\frac{47}{58}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{47}{58} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\frac{2209}{3364}=-\frac{59}{29}+\frac{2209}{3364}$$

Щоб додати -\frac{59}{29} до \frac{2209}{3364}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$\lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\frac{2209}{3364}=-\frac{4635}{3364}$$

Розкладіть \lambda ^{2}-\frac{47}{29}\lambda +\frac{2209}{3364} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(\lambda -\frac{47}{58}\right)^{2}=-\frac{4635}{3364}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(\lambda -\frac{47}{58}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4635}{3364}}$$

Виконайте спрощення.

$$\lambda -\frac{47}{58}=\frac{3\sqrt{515}i}{58} \lambda -\frac{47}{58}=-\frac{3\sqrt{515}i}{58}$$

Додайте \frac{47}{58} до обох сторін цього рівняння.

$$\lambda =\frac{47+3\sqrt{515}i}{58} \lambda =\frac{-3\sqrt{515}i+47}{58}$$