Розв'яжіть -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -4 замість a, 20 замість b і -47 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть 20 до квадрата.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 16 на -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 400 до -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} за додатного значення ±. Додайте -20 до 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Розділіть -20+4i\sqrt{22} на -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{22} від -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Розділіть -20-4i\sqrt{22} на -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Додайте 47 до обох сторін цього рівняння.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Якщо відняти -47 від самого себе, залишиться 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Відніміть -47 від 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Ділення на -4 скасовує множення на -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Розділіть 20 на -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Розділіть 47 на -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Щоб додати -\frac{47}{4} до \frac{25}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$