Розв'яжіть -3(x-9)(2+x)>0

$$-3(x-9)(2+x) > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-2,9\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -3 на x-9.

$$\left(-3x+27\right)\left(2+x\right)>0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -3x+27 на 2+x і звести подібні члени.

$$21x-3x^{2}+54>0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в 21x-3x^{2}+54 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-21x+3x^{2}-54<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-21x+3x^{2}-54=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 3 на a, -21 – на b, а -54 – на c.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 3\left(-54\right)}}{2\times 3}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{21±33}{6}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{21±33}{6} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=9 x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$3\left(x-9\right)\left(x+2\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-9 і x+2 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-9 має додатне значення, а x+2 – від’ємне.

$$x-9>0 x+2<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+2 має додатне значення, а x-9 – від’ємне.

$$x+2>0 x-9<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-2,9\right).

$$x\in \left(-2,9\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-2,9\right)$$