Розв'яжіть -2x^2-x+16=0

$$-2 { x }^{ 2 } -x+16=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{129} - 1}{4} \approx 2,589454173$$

$$x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4}\approx -3,089454173$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}-x+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, -1 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)\times 16}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8\times 16}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на 16.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+128}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 1 до 128.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{129}}{2\left(-2\right)}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{129}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{1±\sqrt{129}}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{129}}{-4} за додатного значення ±. Додайте 1 до \sqrt{129}.

$$x=\frac{\sqrt{129}+1}{-4}$$

Розділіть 1+\sqrt{129} на -4.

$$x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{129}}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{129} від 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{129}}{-4}$$

Розділіть 1-\sqrt{129} на -4.

$$x=\frac{\sqrt{129}-1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4} x=\frac{\sqrt{129}-1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-x+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}-x+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}-x=-16$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{16}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{16}{-2}$$

Розділіть -1 на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{16}{-2}$$

Розділіть -16 на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=8$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=8+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=8+\frac{1}{16}$$

Додайте 8 до \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{129}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{129}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{129}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{129}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{129}}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{129}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4}$$