Розв'яжіть -2x^2+10x-6=0

$$-2 { x }^{ 2 } +10x-6 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{2} \approx 4,302775638$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\approx 0,697224362$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+10x-6=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 10 замість b і -6 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-6\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 10 до квадрата.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-2\right)\left(-6\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+8\left(-6\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на -6.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-48}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 100 до -48.

$$x=\frac{-10±\sqrt{52}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 52.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{13}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{13}}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-10±2\sqrt{13}}{-4} за додатного значення ±. Додайте -10 до 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}-10}{-4}$$

Розділіть -10+2\sqrt{13} на -4.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-10±2\sqrt{13}}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{13} від -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{13}-10}{-4}$$

Розділіть -10-2\sqrt{13} на -4.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2} x=\frac{\sqrt{13}+5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+10x-6=0$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}+10x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Якщо відняти -6 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}+10x=-\left(-6\right)$$

Відніміть -6 від 0.

$$-2x^{2}+10x=6$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+10x}{-2}=\frac{6}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{10}{-2}x=\frac{6}{-2}$$

Розділіть 10 на -2.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-2}$$

Розділіть 6 на -2.

$$x^{2}-5x=-3$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

Додайте -3 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$