Розв'яжіть -2p^2+3p+5=0

$$-2 { p }^{ 2 } +3p+5 = 0$$

Знайдіть p

$$p=-1$$

$$p = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -2p^{2}+ap+bp+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=3 ab=-2\times 5=-10$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -10.

$$-1,10 -2,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 3.

$$a=5 b=-2$$

Перепишіть -2p^{2}+3p+5 як \left(-2p^{2}+5p\right)+\left(-2p+5\right).

$$\left(-2p^{2}+5p\right)+\left(-2p+5\right)$$

-p на першій та -1 в друге групу.

$$-p\left(2p-5\right)-\left(2p-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2p-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2p-5\right)\left(-p-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2p-5=0 та -p-1=0.

$$p=\frac{5}{2} p=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2p^{2}+3p+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 3 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на 5.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 9 до 40.

$$p=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$p=\frac{-3±7}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$p=\frac{-3±7}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-3±7}{-4} за додатного значення ±. Додайте -3 до 7.

$$p=\frac{4}{-4}$$

Розділіть 4 на -4.

$$p=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-3±7}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від -3.

$$p=-\frac{10}{-4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{-4} до нескоротного вигляду.

$$p=\frac{5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$p=-1 p=\frac{5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2p^{2}+3p+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$-2p^{2}+3p+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$-2p^{2}+3p=-5$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2p^{2}+3p}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$p^{2}+\frac{3}{-2}p=-\frac{5}{-2}$$

Розділіть 3 на -2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=-\frac{5}{-2}$$

Розділіть -5 на -2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{4}. Потім додайте -\frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Щоб додати \frac{5}{2} до \frac{9}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Розкладіть p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} p-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Додайте \frac{3}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$p=\frac{5}{2} p=-1$$