Розв'яжіть -16y^2+148y-252

$$-16 { y }^{ 2 } +148y-252$$

Розкласти на множники

$$4\left(7-y\right)\left(4y-9\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 4 за дужки.

$$4\left(-4y^{2}+37y-63\right)$$

Розглянемо -4y^{2}+37y-63. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -4y^{2}+ay+by-63. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=37 ab=-4\left(-63\right)=252$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 37.

$$a=28 b=9$$

Перепишіть -4y^{2}+37y-63 як \left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right).

$$\left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right)$$

4y на першій та -9 в друге групу.

$$4y\left(-y+7\right)-9\left(-y+7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -y+7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$4\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-16y^{2}+148y-252=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-148±\sqrt{148^{2}-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 148 до квадрата.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904+64\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на -252.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-16128}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 21904 до -16128.

$$y=\frac{-148±\sqrt{5776}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 5776.

$$y=\frac{-148±76}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$y=\frac{-148±76}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-148±76}{-32} за додатного значення ±. Додайте -148 до 76.

$$y=-\frac{72}{-32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-72}{-32} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{9}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-148±76}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 76 від -148.

$$y=-\frac{224}{-32}$$

Розділіть -224 на -32.

$$y=7$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{9}{4} на x_{1} та 7 на x_{2}.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\left(y-\frac{9}{4}\right)\left(y-7\right)$$

Щоб відняти y від \frac{9}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\times \frac{-4y+9}{-4}\left(y-7\right)$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для -16 й 4.

$$-16y^{2}+148y-252=4\left(-4y+9\right)\left(y-7\right)$$

Обчислити

$$-16y^{2}+148y-252$$