Розв'яжіть -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -144 замість a, 9 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Помножте -4 на -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Помножте 576 на -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Додайте 81 до -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Помножте 2 на -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} за додатного значення ±. Додайте -9 до 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Розділіть -9+27i\sqrt{7} на -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} за від’ємного значення ±. Відніміть 27i\sqrt{7} від -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Розділіть -9-27i\sqrt{7} на -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Розділіть обидві сторони на -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Ділення на -144 скасовує множення на -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 9, щоб звести дріб \frac{9}{-144} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 9, щоб звести дріб \frac{9}{-144} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Поділіть -\frac{1}{16} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{32}. Потім додайте -\frac{1}{32} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{32} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Щоб додати -\frac{1}{16} до \frac{1}{1024}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Додайте \frac{1}{32} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$