Розв'яжіть -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Відніміть 20 від обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Якщо відняти 20 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

Відніміть 20 від -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 90 замість b і -95 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 90 до квадрата.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 8100 до -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7720.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -90 до 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Розділіть -90+2\sqrt{1930} на -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{1930} від -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Розділіть -90-2\sqrt{1930} на -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Додайте 75 до обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Якщо відняти -75 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

Відніміть -75 від 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

Розділіть 90 на -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

Розділіть 95 на -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Поділіть -90 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -45. Потім додайте -45 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Піднесіть -45 до квадрата.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Додайте -95 до 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Розкладіть x^{2}-90x+2025 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Виконайте спрощення.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Додайте 45 до обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$