Розв'яжіть -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Знайдіть x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 8 замість b і 47 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 64 до 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -8 до 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Розділіть -8+6\sqrt{7} на -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 6\sqrt{7} від -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Розділіть -8-6\sqrt{7} на -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Відніміть 47 від обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Якщо відняти 47 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Розділіть 8 на -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Розділіть -47 на -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Поділіть -8 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -4. Потім додайте -4 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Додайте 47 до 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Розкладіть x^{2}-8x+16 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Виконайте спрощення.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$