Розв'яжіть -x^2+5x=100

$$- x ^ { 2 } + 5 x = 100$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-5\sqrt{15}i+5}{2}\approx 2,5-9,682458366i$$

$$x=\frac{5+5\sqrt{15}i}{2}\approx 2,5+9,682458366i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+5x=100$$

Відніміть 100 від обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}+5x-100=100-100$$

Якщо відняти 100 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}+5x-100=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 5 замість b і -100 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -100.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-400}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 25 до -400.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-375}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -375.

$$x=\frac{-5±5\sqrt{15}i}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-5±5\sqrt{15}i}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±5\sqrt{15}i}{-2} за додатного значення ±. Додайте -5 до 5i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-5+5\sqrt{15}i}{-2}$$

Розділіть -5+5i\sqrt{15} на -2.

$$x=\frac{-5\sqrt{15}i+5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±5\sqrt{15}i}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 5i\sqrt{15} від -5.

$$x=\frac{-5\sqrt{15}i-5}{-2}$$

Розділіть -5-5i\sqrt{15} на -2.

$$x=\frac{5+5\sqrt{15}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-5\sqrt{15}i+5}{2} x=\frac{5+5\sqrt{15}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=100$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{100}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{100}{-1}$$

Розділіть 5 на -1.

$$x^{2}-5x=\frac{100}{-1}$$

Розділіть 100 на -1.

$$x^{2}-5x=-100$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-100+\frac{25}{4}$$

Додайте -100 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{375}{4}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{375}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{375}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{5\sqrt{15}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{5\sqrt{15}i}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+5\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{15}i+5}{2}$$