Розв'яжіть -x^2+5x+14>0

$$- x ^ { 2 } + 5 x + 14 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-2,7\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -x^{2}+5x+14 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$x^{2}-5x-14<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -5 – на b, а -14 – на c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\left(-14\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{5±9}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{5±9}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=7 x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-7 і x+2 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-7 має додатне значення, а x+2 – від’ємне.

$$x-7>0 x+2<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+2 має додатне значення, а x-7 – від’ємне.

$$x+2>0 x-7<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-2,7\right).

$$x\in \left(-2,7\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-2,7\right)$$