Розв'яжіть -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -9 замість a, 18 замість b і 68 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Піднесіть 18 до квадрата.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте -4 на -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте 36 на 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Додайте 324 до 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте 2 на -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} за додатного значення ±. Додайте -18 до 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Розділіть -18+6\sqrt{77} на -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} за від’ємного значення ±. Відніміть 6\sqrt{77} від -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Розділіть -18-6\sqrt{77} на -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Відніміть 68 від обох сторін цього рівняння.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Якщо відняти 68 від самого себе, залишиться 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Розділіть обидві сторони на -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Ділення на -9 скасовує множення на -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Розділіть 18 на -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Розділіть -68 на -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Поділіть -2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -1. Потім додайте -1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Додайте \frac{68}{9} до 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Розкладіть x^{2}-2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$