Розв'яжіть -9x^2+16x-7=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 16 x - 7 = 0$$

Знайдіть x

$$x=1$$

$$x=\frac{7}{9}\approx 0,777777778$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -9x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=16 ab=-9\left(-7\right)=63$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 16.

$$a=9 b=7$$

Перепишіть -9x^{2}+16x-7 як \left(-9x^{2}+9x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(-9x^{2}+9x\right)+\left(7x-7\right)$$

9x на першій та -7 в друге групу.

$$9x\left(-x+1\right)-7\left(-x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-x+1\right)\left(9x-7\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть -x+1=0 та 9x-7=0.

$$x=1 x=\frac{7}{9}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-9x^{2}+16x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -9 замість a, 16 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-9\right)\left(-7\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Піднесіть 16 до квадрата.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-9\right)\left(-7\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте -4 на -9.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+36\left(-7\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте 36 на -7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\left(-9\right)}$$

Додайте 256 до -252.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\left(-9\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4.

$$x=\frac{-16±2}{2\left(-9\right)}$$

Помножте 2 на -9.

$$x=\frac{-16±2}{-18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-16±2}{-18} за додатного значення ±. Додайте -16 до 2.

$$x=-\frac{14}{-18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{-18} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{7}{9}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-16±2}{-18} за від’ємного значення ±. Відніміть 2 від -16.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Розділіть -18 на -18.

$$x=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7}{9} x=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+16x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$-9x^{2}+16x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$-9x^{2}+16x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$-9x^{2}+16x=7$$

Розділіть обидві сторони на -9.

$$\frac{-9x^{2}+16x}{-9}=\frac{7}{-9}$$

Ділення на -9 скасовує множення на -9.

$$x^{2}+\frac{16}{-9}x=\frac{7}{-9}$$

Розділіть 16 на -9.

$$x^{2}-\frac{16}{9}x=\frac{7}{-9}$$

Розділіть 7 на -9.

$$x^{2}-\frac{16}{9}x=-\frac{7}{9}$$

Поділіть -\frac{16}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{8}{9}. Потім додайте -\frac{8}{9} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{16}{9}x+\left(-\frac{8}{9}\right)^{2}=-\frac{7}{9}+\left(-\frac{8}{9}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{8}{9} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{16}{9}x+\frac{64}{81}=-\frac{7}{9}+\frac{64}{81}$$

Щоб додати -\frac{7}{9} до \frac{64}{81}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{16}{9}x+\frac{64}{81}=\frac{1}{81}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{16}{9}x+\frac{64}{81} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{81}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{8}{9}=\frac{1}{9} x-\frac{8}{9}=-\frac{1}{9}$$

Додайте \frac{8}{9} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=\frac{7}{9}$$