Розв'яжіть -8x^2+40x-32=0

$$- 8 x ^ { 2 } + 40 x - 32 = 0$$

Знайдіть x

$$x=1$$

$$x=4$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 8.

$$-x^{2}+5x-4=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx-4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=5 ab=-\left(-4\right)=4$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 4.

$$1,4 2,2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+4=5 2+2=4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 5.

$$a=4 b=1$$

Перепишіть -x^{2}+5x-4 як \left(-x^{2}+4x\right)+\left(x-4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(x-4\right)$$

Винесіть за дужки -x в -x^{2}+4x.

$$-x\left(x-4\right)+x-4$$

Винесіть за дужки спільний член x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-4\right)\left(-x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-4=0 та -x+1=0.

$$x=4 x=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-8x^{2}+40x-32=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -8 замість a, 40 замість b і -32 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-8\right)\left(-32\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Піднесіть 40 до квадрата.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-8\right)\left(-32\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте -4 на -8.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+32\left(-32\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте 32 на -32.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1024}}{2\left(-8\right)}$$

Додайте 1600 до -1024.

$$x=\frac{-40±\sqrt{576}}{2\left(-8\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 576.

$$x=\frac{-40±24}{2\left(-8\right)}$$

Помножте 2 на -8.

$$x=\frac{-40±24}{-16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-40±24}{-16} за додатного значення ±. Додайте -40 до 24.

$$x=-\frac{16}{-16}$$

Розділіть -16 на -16.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-40±24}{-16} за від’ємного значення ±. Відніміть 24 від -40.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

Розділіть -64 на -16.

$$x=4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+40x-32=0$$

Додайте 32 до обох сторін цього рівняння.

$$-8x^{2}+40x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Якщо відняти -32 від самого себе, залишиться 0.

$$-8x^{2}+40x=-\left(-32\right)$$

Відніміть -32 від 0.

$$-8x^{2}+40x=32$$

Розділіть обидві сторони на -8.

$$\frac{-8x^{2}+40x}{-8}=\frac{32}{-8}$$

Ділення на -8 скасовує множення на -8.

$$x^{2}+\frac{40}{-8}x=\frac{32}{-8}$$

Розділіть 40 на -8.

$$x^{2}-5x=\frac{32}{-8}$$

Розділіть 32 на -8.

$$x^{2}-5x=-4$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Додайте -4 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=4 x=1$$